Приводится математическая формулировка задач физики и других областей науки. Обосноавывается недостаточность одного дифференциального уравнения при решении конкретной физической задачи математическими методами и необходимость дополнительных условий. Рассматриваются виды дополнительных условий и их физический смысл.

§ 4.1. Виды краевых условий

Обычно физические явления имеют однозначный детерминированный характер, в то время как математические модели этих явлений, связанные с дифференциальными уравнениями, имеют множество решений. Поэтому для однозначного описания реальных физических явлений вместе с дифференциальными уравнениями необходимо ещё задать дополнительные условия, которые из множества решений позволили бы выделить одно искомое решение. Дополнительных условий не может быть слишком много. Эти условия должны быть непротиворечивыми и обеспечивать отбор единственного решения из множества возможных.

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений – го порядка дополнительные условия заключаются в задании определенной информации о значении искомой функции и её производных при фиксированных значениях аргумента. Совокупность этих значений образует нулевое множество. в пространстве , то есть множество меньшей размерности, чем пространство . Дополнительные условия в случае уравнений с частными производными также задаются на многообразиях меньшей размерности, чем область существования решения. Эти многообразия представляют собой различные поверхности, плоскости, кривые и т.д.

Дополнительные условия в теории уравнений с частными производными принято называть краевыми условиями. Задача, заключающаяся в нахождении решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего краевым условиям, называется краевой задачей. Краевая задача формулируется следующим образом: найти функцию, которая в области является решением уравнения в частных производных, а на границе области удовлетворяет заданным краевым условиям. Если задача нестационарная , то одна из независимых переменных может быть истолкована как время. Часто краевые задачи задают при конкретном значении этой временной переменной и называют начальными условиями. Краевые условия, не являющиеся начальными, принято называть граничными условиями.
Пусть – область, в которой исследуется некоторое физическое явление, – граница области G. Будем считать границу кусочно-гладкой поверхностью . Граничные условия могут быть следующих трёх типов:

1º Граничное условие I-го рода, когда задаётся значение решения на границе области

, (4.1)

2º Граничное условие II-го рода, когда задаётся значение нормальной производной решения на границе области

, (4.2)

3º Граничное условие III-го рода (смешанное граничное условие), когда на границе области задаётся линейная комбинация предыдущих двух граничных условий, то есть

. (4.3)

Здесь , , , и – известные функции.

В качестве начальных условий, как правило, задают значения решения и его производных при (в начальный момент времени):

, (4.4)

. (4.5)

Здесь и − известные функции. Если функции , , , и равны нулю, то краевые условия называются однородными, в противном случае – неоднородными.

§ 4.2. Классификация краевых задач

Различают следующие три основных типа краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными.

1º Задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов. Область является пространством , поэтому граничные условия отсутствуют. Задаются только начальные условиями (область задания ).

2º Краевая задача для уравнений эллиптического типа. Задаются граничные условия на границе S. Начальные условия отсутствуют (область задания ).

3º Смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического типа. Задаются и начальные и граничные условия (область задания представляет цилиндр вида ).

Рассмотрим более подробно постановку задач для некоторых дифференциальных уравнений, описанных в лекции 3.

§ 4.3. Задача Коши для нестационарных уравнений

Для уравнения колебаний (3.1) задача Коши ставится следующим образом: найти функцию класса являющуюся решением исходного уравнения при и удовлетворяющую при начальным условиям (4.4), (4.5). Будем считать, что , и .

Для уравнения диффузии (3.2) задача Коши формулируется так: найти функцию класса , являющуюся решением исходного уравнения при и удовлетворяющую при условию (4.4). Здесь и .

§ 4.4. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа

Краевые задачи для уравнений эллиптического типа (3.3) и (3.5) ставятся следующим образом: найти функцию класса , которая в области является решением исходного уравнения, а на границе удовлетворяет одному из граничных условий (4.1) – (4.3). При этом в зависимости от граничных условий краевые задачи разделяются на краевые задачи I, II и III рода. Краевая задача I-го рода для уравнений Лапласа и Пуассона называется задачей Дирихле

, .

Краевая задача II-го рода для этих же уравнений называется задачей Неймана

, .

Краевые задачи для уравнений эллиптического типа могут ставиться и во внешности области , то есть в области , в этом случае краевые задачи называются внешними. Для внешней краевой задачи помимо граничных условий на поверхности задаются еще условия и на бесконечности. Для уравнений Гельмгольца и Шредингера это условие излучения Зоммерфельда

О при

или

о при .

§ 4.5. Смешанные задачи для уравнений гиперболического и параболического типа

Смешанные задачи для уравнения колебания (3.1) формулируются следующим образом: найти функцию класса , которая в области является решением исходного уравнения, при t=0 и удовлетворяет начальным условиям (4.4), (4.5), а на поверхности – одному из граничных условий (3.1) – (4.3). Потребуем, чтобы , а была кусочно-непрерывной на S[0,T]. При решении смешанных краевых задач должны выполняться условия согласования начальных и граничных условий, то есть

Смешанные задачи для уравнения диффузии (2.2) ставятся аналогично: найти функцию класса , , являющуюся в области решением исходного уравнения и при , удовлетворяющую начальному условию (4.4), а на поверхности одному из граничных условий (4.1) – (4.3).

§ 4.6. Корректность постановки задач математической физики

Краевая задача считается поставленной корректно, если выполняются следующие условия:

1° Решение должно существовать в каком - то классе функций .

2° Решение должно быть единственным в некотором классе функций .

3° Решение должно непрерывно зависеть от входных данных задачи (краевых условий, свободного слагаемого и т.д.). Непрерывная зависимость от этих данных означает устойчивость решения по отношению к ним.

Множество называется классом корректности. Задача считается поставленной некорректно, если не выполняется хотя бы одно из условий 1° , 2°, 3°. К некорректно поставленным задачам приводят обратные задачи математической физики, когда по некоторой информации о решении самой задачи надо восстановить другие неизвестные физические величины, определяющие эту задачу (коэффициенты уравнения, краевые условия и так далее).

§ 4.7. Теорема Коши – Ковалевской

Рассмотренные в предыдущих главах основные уравнения математической физики можно в общем случае записать в виде

Представим это уравнение в нормальной форме относительно переменой , то есть в виде:

, (4.6)

где .

Сформулируем задачу Коши для уравнения (3.6): найти решение , удовлетворяющее начальным условиям:

(4.7)

(4.8)

где , – заданные функции в некоторой области .

Определение. Функция называется аналитической в точке , если в некоторой окрестности этой точки она может быть представлена в виде равномерно сходящегося степенного ряда, то есть в виде

где , и

Т е о р е м а (Коши–Ковалевской) Если функции и аналитические в некоторой окрестности точки , а функция аналитическая в некоторой окрестности точки , то задача Коши (4.6) – (4.8) имеет аналитическое решение в

некоторой окрестности точки и притом единственное в классе аналитических функций. Доказательство теоремы можно найти в [7].

П р и м е р 4.1. Сила натяжения струны постоянна и равна , её концы закреплены неподвижно. В момент времени t=0 точкам струны сообщаются начальные отклонения и начальные скорости . Поставьте краевую задачу для определения отклонений струны при t > 0 .

Р е ш е н и е. Ось Ox декартовой системы координат направим вдоль положения равновесия струны. Будем рассматривать малые поперечные колебания струны, совершаемые ею только в одной плоскости , где u(x,t) – отклонения струны в момент времени t > 0. Неподвижное закрепление концов струны означает, что смещения на концах струны равны нулю, т.е. u(0,t) = u(l,t) = 0 при 0 ≤ t <. Для определения функции u(x,t) , характеризующей процесс колебаний струны, получаем смешанную задачу

при 0 ≤ t < , 0 < x < l,

u(0,t) = u(l,t) = 0 при 0 ≤ t <,

, при 0 ≤ x ≤ l ,

где , – линейная плотность материала струны.

П р и м е р 4.2. Неограниченный стержень постоянного сечения с теплоизолированной боковой поверхностью в момент времени t=0 имеет температуру . Поставьте краевую задачу об определении температуры в этом стержне при t > 0.

Р е ш е н и е. Так как сечение стержня постоянно и боковая поверхность стержня теплоизолированная, то температура в стержне всё время будет зависеть лишь от одной пространственной переменной x . Поэтому краевая задача в данном случае будет представлять собой задачу Коши для одномерного уравнения теплопроводности (3.2):

, , ,

, ,

где – коэффициент температуропроводности материала стержня.

П р и м е р 4.3. Объём V , ограниченный поверхностью S , состоит из двух частей и , которые разделены поверхностью . В каждой из указанных частей коэффициенты теплопроводности материала постоянны и равны соответственно и . Поставьте краевую задачу о стационарном распределении температуры в объёме V , если задана температура на поверхности S.

Р е ш е н и е. Температура стационарного теплового поля в однородной среде без источников удовлетворяет уравнению Лапласа . В нашем случае среда кусочно-однородная . Это значит, что коэффициент теплопроводности k(x,y,z) терпит разрывы на поверхности , так что в , в

( ). На поверхности должны выполняться условия сопряжени

, (4.10)

. (4.11)

Условие (4.10) означает непрерывность температуры, а условие (4.11) – непрерывность теплового потока на поверхности разрыва.

Краевая задача в этом случае ставится так:

в ,

и на имеют место условия сопряжения (4.10) , (4.11) .

П р и м е р 4.4. Поставьте краевую задачу о колебании круглой однородной мембраны, закреплённой по краю. Начальное отклонение и начальная скорость мембраны равны нулю.

В момент времени начинает действовать внешняя сила , равномерно распределённая по поверхности мембраны.

Р е ш е н и е. Согласно выражению (3.2), колебания мембраны описываются уравнением

. (4.12)

По условию мембрана однородная. Значит . Так как мембрана круглая, то уравнение (4.12) целесообразно записать в полярных координатах

, (4.13)

где ,. Нулевые начальные условия и закрепление мембраны по краю означают, что

, . (4.14)

Здесь – радиус мембраны. В таком случае краевая задача о колебании круглой однородной мембраны, закреплённой по краю, будет заключаться в нахождении решения уравнения

удовлетворяющего начальным условиям

и граничному условию

§ 4.8. Задачи

4.8.1. Упругий стержень имеет форму усечённого конуса. Длина стержня равна , радиусы оснований . Стержень изготовлен из однородного материала. Концы стержня закреплены неподвижно. Поставьте краевую задачу о продольных колебаниях стержня, если в момент времени точкам стержня сообщены продольные начальные отклонения и скорости.

4.8.2. Один конец упругого однородного стержня постоянного сечения закреплён жёстко, а другой испытывает сопротивление, пропорциональное величине отклонения. Поставьте краевую задачу о продольных колебаниях стержня в среде без сопротивления.

4.8.3. По поверхности цилиндрического проводника течёт ток силой . Поставьте краевую задачу об определении магнитного поля вне проводника.

4.8.4. Боковая поверхность неограниченного цилиндра радиуса поддерживается при постоянной температуре. Поставьте краевую задачу о радиальном распространении тепла.

4.8.5. Полусфера радиуса изготовлена из однородного материала. Температура на основании полусферы равна нулю, а на сферической поверхности − . Поставьте краевую задачу о распределении температуры внутри сферы.

4.8.6. На боковых поверхностях тонкой прямоугольной пластины поддерживаются заданные температуры. Поставьте краевую задачу о распределении температуры внутри пластины.